Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a forma da integranda (sem calcular ainda): há um fator
multiplicando funções de
, e aparece
. Um truque comum é tentar uma substituição ligada a uma função cuja derivada envolva
e
. Antes de escolher, lembro a regra do produto função–derivada: se
então
. Isso sugere que se eu achar uma função
tal que
seja proporcional a
, posso transformar a integral em algo do tipo
, que é fácil.
Passo 3
Escolho a substituição
Agora calculo
usando a regra da cadeia. Lembro que
. Aplicando com
e
, obtemos
Passo 4
Isolo o diferencial conveniente:
portanto
Passo 5
Reescrevo a integral em função de
. A integranda original é
, isto é
. Usando a relação do Passo 4:
Agora aplico a fórmula básica de primitiva:
. Assim
Passo 6
Volto à variável original substituindo
. Portanto uma primitiva é
Para checar rapidamente: derivando
usamos a regra da cadeia e obtemos exatamente
, confirmando que a antiderivada está correta.