Calcule as integrais abaixo:
\int x \operatorname{cotg}\left(x^{2}\right) \cdot \operatorname{cosec}^{2}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \operatorname{cotg}\left(x^{2}\right)\cdot \operatorname{cosec}^{2}\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x\cdot \operatorname{cotg}\!\big(x^{2}\big)\cdot \operatorname{cosec}^{2}\!\big(x^{2}\big).
  • Quer-se uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a forma da integranda (sem calcular ainda): há um fator x multiplicando funções de x^{2}, e aparece \operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big). Um truque comum é tentar uma substituição ligada a uma função cuja derivada envolva x e \operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big). Antes de escolher, lembro a regra do produto função–derivada: se F'(t)=f(t) então \dfrac{d}{dt}\!\big(\tfrac{1}{2}f(t)^2\big)=f(t)f'(t). Isso sugere que se eu achar uma função v(x) tal que v'(x) seja proporcional a x\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big), posso transformar a integral em algo do tipo \int v\,dv, que é fácil.

Passo 3

Escolho a substituição
v=\operatorname{cotg}\big(x^{2}\big).
Agora calculo dv usando a regra da cadeia. Lembro que \dfrac{d}{du}\operatorname{cotg}(u)=-\operatorname{cosec}^{2}(u). Aplicando com u=x^{2} e du=2x\,dx, obtemos
dv = \dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg}\big(x^{2}\big)\,dx = -\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\cdot 2x\,dx.

Passo 4

Isolo o diferencial conveniente:
2x\,\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\,dx = -dv,
portanto
x\,\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\,dx = -\tfrac{1}{2}\,dv.

Passo 5

Reescrevo a integral em função de v. A integranda original é x\cdot \operatorname{cotg}\big(x^{2}\big)\cdot \operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\,dx, isto é \operatorname{cotg}\big(x^{2}\big)\cdot\big(x\,\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\,dx\big). Usando a relação do Passo 4:
\int x\,\operatorname{cotg}\big(x^{2}\big)\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big)\,dx = \int v\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\,dv\big) = -\tfrac{1}{2}\int v\,dv.
Agora aplico a fórmula básica de primitiva: \int v\,dv = \tfrac{1}{2}v^{2}. Assim
-\tfrac{1}{2}\int v\,dv = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}v^{2} = -\tfrac{1}{4}v^{2} + C.

Passo 6

Volto à variável original substituindo v=\operatorname{cotg}\big(x^{2}\big). Portanto uma primitiva é
-\tfrac{1}{4}\operatorname{cotg}^{2}\big(x^{2}\big) + C.
Para checar rapidamente: derivando -\tfrac{1}{4}\operatorname{cotg}^{2}\big(x^{2}\big) usamos a regra da cadeia e obtemos exatamente x\operatorname{cotg}\big(x^{2}\big)\operatorname{cosec}^{2}\big(x^{2}\big), confirmando que a antiderivada está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{4}\operatorname{cotg}^{2}\big(x^{2}\big)+C

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