Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{6 d t}{\left(9 t^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{6\,dt}{(9t^2+1)^2}.
O conteúdo aqui é integração de uma função racional do tipo \frac{1}{(a^2+x^2)^2}, e vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
3t = \tan u \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{3}\tan u,
de onde
dt = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^2 u\,du, \qquad 9t^2+1 = \tan^2 u + 1 = \operatorname{sec}^2 u.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{6\,dt}{(9t^2+1)^2}, obtemos
\int \frac{6}{(\operatorname{sec}^2 u)^2}\,\frac{1}{3}\operatorname{sec}^2 u\,du =2\int \frac{\operatorname{sec}^2 u}{\operatorname{sec}^4 u}\,du =2\int \cos^2 u\,du.

Passo 4

Aplicamos a identidade \cos^2 u = \frac{1+\cos2u}{2}:
2\int \cos^2 u\,du =2\int \frac{1+\cos2u}{2}\,du =\int (1+\cos2u)\,du =u + \frac{1}{2}\sin2u + C.

Passo 5

Voltando à variável t:
u = \arctan(3t), \quad \sin2u = 2\sin u\cos u =2\cdot\frac{\tan u}{\operatorname{sec} u}\cdot\frac{1}{\operatorname{sec} u} =2\cdot\frac{3t}{1+9t^2},
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\frac{1}{2}\sin2u = \frac{3t}{1+9t^2}.
Portanto
\int \frac{6\,dt}{(9t^2+1)^2} = \arctan(3t) + \frac{3t}{1+9t^2} + C.

Resposta

\arctan(3t) + \frac{3t}{1+9t^2} + C

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