Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{8 d x}{\left(4 x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{8\,dx}{\bigl(4x^{2}+1\bigr)^{2}}.
O conteúdo envolvido é a integração de função racional que sugere usar substituição trigonométrica do tipo x=\tfrac12\tan\theta, pois 4x^2+1 se torna uma função simples em \theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac12\tan\theta,
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dx = \frac12\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta,
e
4x^2+1 = 4\Bigl(\tfrac12\tan\theta\Bigr)^2+1 = \tan^2\theta+1 = \operatorname{sec}^2\theta.
Assim o integrando vira
\frac{8\,dx}{(4x^2+1)^2} = \frac{8\cdot\frac12\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{\bigl(\operatorname{sec}^2\theta\bigr)^{2}} = \frac{4\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^4\theta} =4\cos^2\theta\,d\theta.

Passo 3

Integramos usando a identidade \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}2:
\int 4\cos^2\theta\,d\theta =4\int \frac{1+\cos2\theta}2\,d\theta =2\int(1+\cos2\theta)\,d\theta =2\theta + \int2\cos2\theta\,d\theta.
Como \int\cos2\theta\,d\theta=\tfrac12\sin2\theta, vem
2\theta +2\cdot\frac12\sin2\theta +C =2\theta +\sin2\theta +C.

Passo 4

Volta à variável x. Como x=\tfrac12\tan\theta, temos
\theta = \arctan(2x),
e
\sin2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{2\cdot(2x)}{1+4x^2} = \frac{4x}{4x^2+1}.
Logo a antiderivada fica
2\arctan(2x) + \frac{4x}{4x^2+1} + C.

Resposta

\int \frac{8\,dx}{\bigl(4x^{2}+1\bigr)^{2}} =2\arctan(2x)+\frac{4x}{4x^2+1}+C.

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