Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2}}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}}\,dx.
Como aparece \sqrt{1-x^{2}}, vamos usar substituição trigonométrica x=\sin\theta para simplificar essa raiz.

Passo 2

Fazendo
x = \sin\theta,\quad dx = \cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{1-x^{2}} = \cos\theta,
a integral torna-se
\int \frac{\cos\theta}{(\sin\theta)^{4}}\;\cos\theta\,d\theta = \int \frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta}\,d\theta.

Passo 3

Reescrevemos o integrando em termos de funções cotangente e cossecante:
\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} = \frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\,\frac{1}{\sin^{2}\theta} = \cot^{2}\theta\;\csc^{2}\theta.
Logo a integral é
\int \cot^{2}\theta\;\csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a substituição auxiliar
u = \cot\theta \quad\Longrightarrow\quad du = -\csc^{2}\theta\,d\theta.
Assim
\int \cot^{2}\theta\;\csc^{2}\theta\,d\theta = \int u^{2}\,(-du) = -\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Voltando a \theta, temos
u=\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}.
Logo
-\frac{u^{3}}{3}+C = -\frac{1}{3}\Bigl(\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\Bigr)^{3}+C = -\frac{(1-x^{2})^{3/2}}{3\,x^{3}}+C.

Resposta

-\frac{(1-x^{2})^{3/2}}{3\,x^{3}}+C

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