Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}}{x^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{3/2}}{x^{6}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz \sqrt{1 - x^2} e depois uma mudança de variável simples (u-substituição) para tratar as potências de cotangente e cossecante.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = \sin\theta, \quad dx = \cos\theta\,d\theta,
com \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Nesse domínio temos \cos\theta\ge0, então
1 - x^2 = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta \quad\Longrightarrow\quad \bigl(1 - x^2\bigr)^{3/2} = (\cos^2\theta)^{3/2} = \cos^3\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{(1 - x^2)^{3/2}}{x^6}\,dx = \int \frac{\cos^3\theta}{\sin^6\theta}\,\bigl(\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int \frac{\cos^4\theta}{\sin^6\theta}\,d\theta.
Escrevendo em termos de cotangente e cossecante:
\frac{\cos^4\theta}{\sin^6\theta} = \frac{\cos^4\theta}{\sin^4\theta}\,\frac{1}{\sin^2\theta} = \cot^4\theta\,\csc^2\theta.
Logo a integral vira
\int \cot^4\theta\,\csc^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora fazemos a mudança de variável
u = \cot\theta \quad\Longrightarrow\quad du = -\csc^2\theta\,d\theta.
Assim
\int \cot^4\theta\,\csc^2\theta\,d\theta = -\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cot^5\theta}{5} + C.

Passo 5

Volta-mos para a variável x. Como x = \sin\theta temos
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}.
Portanto a antiderivada é
-\frac{1}{5}\,\biggl(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\biggr)^{5} + C = -\frac{(1 - x^2)^{5/2}}{5\,x^5} + C.

Resposta

-\frac{(1 - x^2)^{5/2}}{5\,x^5} + C.

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