Calcule as integrais abaixo.
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{2+\cos (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{2+\cos(x)}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, já que vemos \sin(x)\,dx e a derivada de \cos(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + \cos(x),
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du = -\operatorname{sen}(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(x)\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{2+\cos(x)}\,dx = \int \frac{-\,du}{u} = - \int \frac{du}{u} = - \ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando a variável x, obtemos
- \ln\bigl|2 + \cos(x)\bigr| + C.

Resposta

- \ln\bigl|2 + \cos(x)\bigr| + C.

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