Calcule as integrais abaixo.
\int \frac{(2-\sqrt{x})^{5}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{(2-\sqrt{x})^{5}}{\sqrt{x}}\,dx.
Aqui vamos usar uma substituição para eliminar a raiz quadrada e transformar o integrando num polinômio simples.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = \sqrt{x},
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x = t^{2} \quad\text{e}\quad dx = 2t\,dt.
Também temos \sqrt{x}=t.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\frac{(2-\sqrt{x})^{5}}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{(2-t)^{5}}{t}\,(2t\,dt) = 2\,(2-t)^{5}\,dt.
Portanto a integral vira
\int \frac{(2-\sqrt{x})^{5}}{\sqrt{x}}\,dx = 2\int (2-t)^{5}\,dt.

Passo 4

Para integrar 2\int(2-t)^{5}dt, observamos que é um polinômio em (2-t). Podemos usar u=2-t, du=-dt, mas diretamente temos
\int (2-t)^{5}\,dt = -\frac{(2-t)^{6}}{6}+C_{1}.
Multiplicando por 2,
2\int(2-t)^{5}\,dt = 2\!\left(-\frac{(2-t)^{6}}{6}\right)+C = -\frac{(2-t)^{6}}{3}+C.

Passo 5

Voltando à variável original t=\sqrt{x}, a primitiva é
-\frac{\bigl(2-\sqrt{x}\bigr)^{6}}{3}+C
que também podemos reescrever como
\frac{\bigl(\sqrt{x}-2\bigr)^{6}}{3}+C.

Resposta

\int \frac{(2-\sqrt{x})^{5}}{\sqrt{x}}\,dx = -\frac{\bigl(2-\sqrt{x}\bigr)^{6}}{3}+C \quad\text{ou}\quad \frac{\bigl(\sqrt{x}-2\bigr)^{6}}{3}+C.

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