Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{1}{\sqrt{x}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{x}+1}\,dx.
Este é um integral indefinido com radical no denominador; vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Definimos
u = \sqrt{x}, \quad x = u^2, \quad dx = 2u\,du.
Substituindo na integral original:
\int \frac{1}{\sqrt{x}+1}\,dx = \int \frac{1}{u+1}\,(2u\,du).

Passo 3

Reescrevemos o integrando:
\frac{2u}{u+1} = 2\,\frac{u+1-1}{u+1} = 2\Bigl(1 - \frac{1}{u+1}\Bigr) = 2 - \frac{2}{u+1}.
Então a integral vira
\int \Bigl(2 - \frac{2}{u+1}\Bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int 2\,du = 2u, \qquad \int \frac{2}{u+1}\,du = 2\ln\lvert u+1\rvert.
Logo
\int \Bigl(2 - \frac{2}{u+1}\Bigr)\,du = 2u - 2\ln\lvert u+1\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\sqrt{x}, obtemos a antiderivada:
2\sqrt{x} - 2\ln\bigl(\sqrt{x}+1\bigr) + C.

Resposta

2\sqrt{x} - 2\ln\bigl(\sqrt{x}+1\bigr) + C

Exercícios relacionados