(0.6 pts) Esboce e calcule a área da região fechada delimitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região fechada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2}. O conteúdo aqui é área entre curvas. Para isso, precisamos:
  1. Encontrar os pontos de intersecção.
  2. Determinar qual função fica por cima no intervalo entre esses pontos.
  3. Integrar a diferença entre as duas funções.
    No esboço, note que ambas passam por (0,0) e (1,1); a curva y=x^{2} é crescente e côncava para cima, e y=\sqrt{x} é crescente e côncava para baixo, formando uma “lente” entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de intersecção, igualamos as funções em x\ge0:
\sqrt{x} = x^{2}.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x = x^{4} \quad\Longrightarrow\quad x(x^{3}-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^{3}=1\\ (\Rightarrow x=1).
Logo, as curvas se cruzam em (0,0) e (1,1).

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima de qual em [0,1]. Escolhendo um valor qualquer, por exemplo x=0,25:
\sqrt{0,25}=0,5, \quad (0,25)^{2}=0,0625 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>x^{2}.
Portanto, para 0\le x\le1, a função superior é \sqrt{x} e a inferior é x^{2}.

Passo 4

O cálculo da área A é dado por
A = \int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx.
Calculando separadamente:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}x^{3}.
Logo,
A = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}\Bigr)-0 = \tfrac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{1}{3}.

Exercícios relacionados