(0.6 pts) Esboce e calcule a área da região fechada delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região fechada pelas curvas
e
. O conteúdo aqui é área entre curvas. Para isso, precisamos:
- Encontrar os pontos de intersecção.
- Determinar qual função fica por cima no intervalo entre esses pontos.
- Integrar a diferença entre as duas funções.
No esboço, note que ambas passam pore ; a curva é crescente e côncava para cima, e é crescente e côncava para baixo, formando uma “lente” entre elas.
Passo 2
Para achar os pontos de intersecção, igualamos as funções em
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Logo, as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual função está acima de qual em
. Escolhendo um valor qualquer, por exemplo
:
Portanto, para
, a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
O cálculo da área
é dado por
Calculando separadamente:
Logo,
Resposta
A área da região é
.