Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{3 x^{3}+2 x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x^{3}+2x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração de função racional por frações parciais.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador e escrevendo a decomposição em frações parciais. Note que
x^{4}+x^{2}=x^{2}(x^{2}+1),
logo supomos que
\frac{3x^{3}+2x^{2}+x+2}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1)\) para encontrar \(A,B,C,D\): \[3x^{3}+2x^{2}+x+2 = A\,x(x^{2}+1)+B\,(x^{2}+1)+(Cx+D)\,x^{2}.
Expandindo o lado direito:
A x^{3}+A x + B x^{2}+B + C x^{3}+D x^{2} =(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+A x + B.
Comparando coeficientes em cada grau de x:
\begin{cases} A+C=3,\\\ B+D=2,\\\ A=1,\\\ B=2, \end{cases}
logo A=1\], \(B=2, C=3-A=2 e D=2-B=0.

Passo 4

Substituindo os valores obtidos, a integral fica
\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert.
  2. \displaystyle \int \frac{2}{x^{2}}\,dx=2\int x^{-2}\,dx=-\frac{2}{x}.
  3. \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Resposta

\ln\lvert x\rvert \;-\;\frac{2}{x}\;+\;\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;+\;C.

Exercícios relacionados