Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{2}{x^{2}+2 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2}{x^{2}+2x+3}\,dx.
O conteúdo envolve técnicas de frações racionais, completar o quadrado no denominador e usar a fórmula da integral do tipo \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+3 = (x+1)^{2}+2.
Com isso a integral fica
\int \frac{2}{(x+1)^{2}+2}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x+1,\quad du = dx,
então a integral passa a ser
2\int \frac{du}{u^{2}+(\sqrt{2})^{2}}.
Aqui usamos a fórmula \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C com a=\sqrt{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula,
2\int \frac{du}{u^{2}+2} =2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{2}}\bigr)+C =\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{2}}\bigr)+C.
Voltando a x u=x+1, obtemos
\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{2}}\bigr)+C.

Resposta

\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{2}}\bigr)+C

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