( 0,5 pts) Encontre a função f(x) que satisfaz as seguintes condições iniciais:
f^{\prime \prime}(x)=\cos (x) \operatorname{sen}(x), f^{\prime}(\pi)=0, \quad f(\pi)=1

Passo 1

O enunciado pede uma função f(x) cuja segunda derivada satisfaz
f''(x)=\cos(x)\,\operatorname{sen}(x)
e que atende às condições iniciais \,f'(\pi)=0 e f(\pi)=1.
Para resolver, vamos integrar f'' para achar f', aplicar f'(\pi)=0 para determinar a constante de integração, depois integrar f' para achar f e usar f(\pi)=1 para achar a segunda constante.

Passo 2

Observe que
\cos(x)\,\operatorname{sen}(x) = \tfrac12\operatorname{sen}(2x).
Assim, integrando para obter f'(x), temos
f'(x) = \int \cos(x)\,\operatorname{sen}(x)\,dx = \int \tfrac12\operatorname{sen}(2x)\,dx = \tfrac12 \Bigl(-\tfrac12\cos(2x)\Bigr) + C_{1} = -\tfrac14\cos(2x) + C_{1}.

Passo 3

Impondo a condição f'(\pi)=0, calculamos
f'(\pi) = -\tfrac14\cos(2\pi) + C_{1} = -\tfrac14\cdot1 + C_{1} = C_{1} - \tfrac14
e isso deve ser zero. Logo
C_{1} = \tfrac14.
Portanto
f'(x) = -\tfrac14\cos(2x) + \tfrac14.

Passo 4

Agora integramos f'(x) para obter f(x):
f(x) = \int\Bigl(-\tfrac14\cos(2x) + \tfrac14\Bigr)\,dx = -\tfrac14\int\cos(2x)\,dx + \tfrac14x + C_{2} = -\tfrac14\Bigl(\tfrac12\operatorname{sen}(2x)\Bigr) + \tfrac14x + C_{2} = -\tfrac18\operatorname{sen}(2x) + \tfrac14x + C_{2}.

Passo 5

Para encontrar C_{2}, usamos f(\pi)=1:
f(\pi) = -\tfrac18\operatorname{sen}(2\pi) + \tfrac14\pi + C_{2} = 0 + \tfrac\pi4 + C_{2} = 1,
de onde
C_{2} = 1 - \tfrac\pi4.
Substituindo em f(x), obtemos a função desejada.

Resposta

f(x) = -\frac18\operatorname{sen}(2x) + \frac{x}{4} + 1 - \frac{\pi}{4}.

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