Calcule as integrais abaixo.
\int \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição: sempre que tivermos uma função composta cujas derivadas internas aparecem no integrando, podemos usar u-substituição.

Passo 2

Escolhemos
u = 1 + x^{2},
para que
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\,\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\,\int u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}\,u^{-2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = 1+x^{2}, logo
-\frac{1}{4}\,u^{-2} + C = -\frac{1}{4}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-2} + C = -\frac{1}{4\,(1+x^{2})^{2}} + C.

Resposta

\int \frac{x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}\,dx = -\frac{1}{4\,(1+x^{2})^{2}} + C.

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