Calcule as integrais abaixo.
\int \frac{x}{x^{2}-5 x+4} d x (Fatore o denominador.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{x^{2}-5x+4}\,dx
O conteúdo envolvido é a integração de uma função racional, que vamos resolver fatorando o denominador e usando frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^{2}-5x+4. Para isso, encontramos as raízes da equação x^{2}-5x+4=0, que são x=1 e x=4. Logo,
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais: suponha que
\frac{x}{(x-1)(x-4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-4), obtemos
x = A(x-4) + B(x-1) = (A+B)\,x + (-4A - B).
Igualando coeficientes em x e no termo constante, temos
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -4A - B = 0. \end{cases}
Resolvendo o sistema surge
A = -\tfrac{1}{3}, \quad B = \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Reescrevemos a integral usando a decomposição encontrada:
\int \frac{x}{x^{2}-5x+4}\,dx = \int\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,\frac{1}{x-1} \;+\;\tfrac{4}{3}\,\frac{1}{x-4}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo, lembrando que \displaystyle\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\lvert x-a\rvert + C.
Portanto,
\int \frac{x}{x^{2}-5x+4}\,dx = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert + \tfrac{4}{3}\ln\lvert x-4\rvert + C.

Resposta

-\tfrac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert + \tfrac{4}{3}\ln\lvert x-4\rvert + C.

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