Determine a equação da reta tangente à curva 3 x+x y+e^{x^{2} y}=4 no ponto (1,0)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
3x + x y + e^{x^{2}y} = 4
e pede a reta tangente a essa curva no ponto (1,0). O que vamos usar é diferenciação implícita para encontrar \dfrac{dy}{dx} naquele ponto, e depois montar a equação da reta usando a forma ponto-inclinação.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
3x + x y + e^{x^{2}y} = 4
em relação a x, temos:
  • Derivada de 3x é 3.
  • Derivada de x y é y + x\,y' (produto de x por y(x)).
  • Derivada de e^{x^{2}y} é
e^{x^{2}y}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}y) = e^{x^{2}y}\bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr).
No lado direito a derivada de 4 é 0. Logo a relação é
3 + \bigl(y + x\,y'\bigr) + e^{x^{2}y}\bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr) = 0.

Passo 3

Agora substituímos o ponto (x,y)=(1,0). Note que e^{1^{2}\cdot0}=e^{0}=1. A equação fica
3 + \bigl(0 + 1\cdot y'\bigr) + 1\cdot\bigl(2\cdot1\cdot0 + 1^{2}y'\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3 + y' + y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y' = -3 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\tfrac{3}{2}.

Passo 4

A inclinação da reta tangente é m = y' = -\tfrac{3}{2}. Usando a forma ponto-inclinação,
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
com (x_{0},y_{0})=(1,0), vem
y - 0 = -\tfrac{3}{2}\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{2}.

Resposta

A equação da reta tangente é
\boxed{y = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{2}}.

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