Faça o que é pedido em cada item
Calcule \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+e^{2 x}\right)}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)}{3x}.
O conteúdo é de limites envolvendo funções logarítmicas e exponenciais, e vamos usar propriedades do logaritmo para simplificar a expressão antes de tomar o limite.

Passo 2

Observe que, para x grande, e^{2x} domina 1. Podemos fatorar e^{2x} dentro do logaritmo:
\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) = \ln\Bigl(e^{2x}\bigl(e^{-2x}+1\bigr)\Bigr) = \ln\bigl(e^{2x}\bigr) + \ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr) = 2x + \ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr).

Passo 3

Substituindo na fração e dividindo termos:
\frac{\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)}{3x} = \frac{2x + \ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr)}{3x} = \frac{2x}{3x} + \frac{\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr)}{3x} = \frac{2}{3} + \frac{\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr)}{3x}.
À medida que x\to\infty, temos e^{-2x}\to0 e, então, \ln(1+e^{-2x})\to0. Logo,
\frac{\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr)}{3x} \;\longrightarrow\; 0.

Resposta

\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)}{3x} = \frac{2}{3}.

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