Calcule as integrais abaixo
\int_{-3}^{-2}\left(t-\frac{1}{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-3}^{-2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é t-\dfrac{1}{t}.
  • O intervalo de integração é [-3,-2].
  • Precisamos obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Verificação de continuidade e integrabilidade (por que posso usar o Teorema Fundamental do Cálculo):
  • A função t é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função \dfrac{1}{t} é contínua em todo t\neq0.
  • O intervalo [-3,-2] não contém 0, então ambos os termos são contínuos em [-3,-2] e a soma também é contínua nesse intervalo.
    Portanto a função é integrável em [-3,-2] e podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (avaliar uma primitiva nos extremos).

Passo 3

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (forma que vamos usar):
\text{Se }F'(t)=f(t)\text{ e }f\text{ é contínua em }[a,b],\text{ então }\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).éíã
Ou seja, achamos uma primitiva F do integrando e avaliamos F(-2)-F(-3).

Passo 4

Encontrar primitivas dos termos separadamente (regra: integral de soma = soma das integrais).
  • Para \int t\,dt: uma primitiva é \dfrac{t^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t^{2}}{2}\right)=t.
  • Para \int \dfrac{1}{t}\,dt: uma primitiva é \ln|t|, porque \dfrac{d}{dt}\big(\ln|t|\big)=\dfrac{1}{t} (a barra de valor absoluto é importante para t<0).
    Como o integrando é t-\dfrac{1}{t}, uma primitiva F é
F(t)=\frac{t^{2}}{2}-\ln|t|.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos extremos e subtrair: calcular F(-2)-F(-3).
Calcule F(-2):
F(-2)=\frac{(-2)^{2}}{2}-\ln|{-2}|=\frac{4}{2}-\ln 2=2-\ln 2.
Calcule F(-3):
F(-3)=\frac{(-3)^{2}}{2}-\ln|{-3}|=\frac{9}{2}-\ln 3.
Agora a diferença:
F(-2)-F(-3)=\big(2-\ln 2\big)-\big(\tfrac{9}{2}-\ln 3\big).

Passo 6

Efetuar a simplificação aritmética e logarítmica:
\big(2-\ln 2\big)-\big(\tfrac{9}{2}-\ln 3\big)=2-\tfrac{9}{2}-\ln 2+\ln 3.
Combine as partes numéricas:
2-\tfrac{9}{2}=\tfrac{4}{2}-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{5}{2}.
Combine as partes dos logaritmos usando \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right):
-\ln 2+\ln 3=\ln 3-\ln 2=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Somando os resultados:
-\tfrac{5}{2}+\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{5}{2}

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