Calcule as integrais abaixo
\int_{-1}^{2} x \sqrt{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x \sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
\text{integraando: }x\sqrt{1+x^{2}};\qquad \text{intervalo: }[-1,2].
Note que o integrando é contínuo em [-1,2] (pois 1+x^{2}>0 e a raiz quadrada é contínua), logo podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo após achar uma primitiva. A tarefa é achar essa primitiva e avaliar a diferença entre os valores nos extremos x=-1 e x=2.

Passo 2

Escolhemos uma substituição simples que “limpa” a raiz. Seja
u=1+x^{2}.
Agora calculemos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
du = 2x\,dx.
Isso implica que
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
A ideia é reescrever toda a integral em termos de u. Observe também que \sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos (mudando também os limites ou deixando como primitiva—aqui faremos a substituição direta nos limites):
Quando x=-1 temos u=1+(-1)^{2}=2.
Quando x=2 temos u=1+2^{2}=5.
Portanto a integral vira
\int_{-1}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \int_{u=2}^{u=5} \left(u^{1/2}\right)\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Ou, escrevendo de forma mais limpa,
\int_{2}^{5} \frac{1}{2} u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. Lembra da regra básica: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora, obtemos a primitiva:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{3}u^{3/2}.
Voltando para a variável x (substituindo u=1+x^{2}), uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{1}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3/2}.
Podemos verificar rapidamente derivando F: usando a regra da cadeia, F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/2}\cdot 2x = x(1+x^{2})^{1/2}, que é exatamente o integrando.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F nos limites x=2 e x=-1:
\int_{-1}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx = F(2)-F(-1).
Calculemos cada termo:
F(2)=\frac{1}{3}\bigl(1+2^{2}\bigr)^{3/2}=\frac{1}{3}\cdot 5^{3/2}=\frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{5}=\frac{5}{3}\sqrt{5},
F(-1)=\frac{1}{3}\bigl(1+(-1)^{2}\bigr)^{3/2}=\frac{1}{3}\cdot 2^{3/2}=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{2}{3}\sqrt{2}.

Passo 6

Subtraindo:
\int_{-1}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{5}{3}\sqrt{5}-\frac{2}{3}\sqrt{2}.
Podemos colocar em fator comum \tfrac{1}{3} se quisermos:
\int_{-1}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-2\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-2\sqrt{2}\bigr)

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