Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas e observações úteis:
Note que o integrando é contínuo em
(pois
e a raiz quadrada é contínua), logo podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo após achar uma primitiva. A tarefa é achar essa primitiva e avaliar a diferença entre os valores nos extremos
e
.
Passo 2
Escolhemos uma substituição simples que “limpa” a raiz. Seja
Agora calculemos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
Isso implica que
A ideia é reescrever toda a integral em termos de
. Observe também que
.
Passo 3
Substituindo na integral original obtemos (mudando também os limites ou deixando como primitiva—aqui faremos a substituição direta nos limites):
Quando temos
.
Quando temos
.
Portanto a integral vira
Quando
Quando
Portanto a integral vira
Ou, escrevendo de forma mais limpa,
Passo 4
Agora integramos em
. Lembra da regra básica:
para
. Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos a primitiva:
Voltando para a variável
(substituindo
), uma primitiva do integrando é
Podemos verificar rapidamente derivando
: usando a regra da cadeia,
, que é exatamente o integrando.
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
nos limites
e
:
Calculemos cada termo:
Passo 6
Subtraindo:
Podemos colocar em fator comum
se quisermos: