Considere a região R entre o gráfico de y=x^{2}+1 e y=2 x+1. Esboce a região R e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R limitada pelas curvas
y = x^2 + 1
e
y = 2x + 1.
O conteúdo que vamos usar é: 1) encontrar pontos de interseção de duas curvas e 2) aplicar integral definida para área entre curvas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos
x^2 + 1 = 2x + 1
que dá
x^2 - 2x = 0,\quad x(x - 2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\;2.
Substituindo em qualquer curva, os pontos são (0,1) e (2,5).

Passo 3

Precisamos ver qual curva está acima no intervalo 0\le x\le2. Calculamos
(2x+1) - (x^2+1) = 2x - x^2.
Em 0\le x\le2, 2x - x^2\ge0, logo a reta y=2x+1 fica acima da parábola y=x^2+1.

Passo 4

A área entre as curvas é
A = \int_{0}^{2}\bigl[(2x+1) - (x^2+1)\bigr]\,dx = \int_{0}^{2}(2x - x^2)\,dx.
Uma primitiva de 2x - x^2 é
x^2 - \frac{x^3}{3},
então
A = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \Bigl(4 - \tfrac{8}{3}\Bigr) - 0 = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 5

Esboço aproximado da região R:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • A parábola y=x^2+1 tem vértice em (0,1) e abre para cima.
  • A reta y=2x+1 passa por (0,1) subindo com inclinação 2.
  • Marque os pontos de interseção (0,1) e (2,5) e sombreie a “lente” entre as duas curvas.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \frac{4}{3}.

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