Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{x+3}{\left(x^{2}+6 x\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{\left(x^{2}+6 x\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • O integrando é uma razão onde o denominador é \left(x^{2}+6x\right)^{2}.
  • O numerador é x+3.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Observação motivadora para a substituição: o denominador contém a expressão x^{2}+6x e a derivada dessa expressão em relação a x é 2x+6=2(x+3), que é proporcional ao numerador x+3. Isso indica que uma substituição do tipo u=x^{2}+6x deve simplificar a integral.
Faço a substituição explicitamente:
u = x^{2}+6x.
Derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx}=2x+6=2(x+3).
Isolando dx ou a combinação que aparece no integrando,
(x+3)\,dx=\frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevo a integral original em termos de u. Substituo x^{2}+6x por u e (x+3)\,dx por \tfrac{1}{2}\,du:
\int \frac{x+3}{\left(x^{2}+6 x\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra de potências para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\bigl(-u^{-1}\bigr)=-\frac{1}{2}u^{-1}.
Volto à variável x substituindo u=x^{2}+6x:
-\frac{1}{2}u^{-1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+6x}.
Adiciono a constante de integração C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ficar mais seguro): tomo
F(x)=-\frac{1}{2\left(x^{2}+6x\right)}+C.
Calculo F'(x):
F'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{2x+6}{\left(x^{2}+6x\right)^{2}} =\frac{2x+6}{2\left(x^{2}+6x\right)^{2}}=\frac{x+3}{\left(x^{2}+6x\right)^{2}}.
A derivada coincide com o integrando, portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2\left(x^{2}+6x\right)}+C

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