Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas relevantes:
- O integrando é uma razão onde o denominador é
. - O numerador é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Observação motivadora para a substituição: o denominador contém a expressão
e a derivada dessa expressão em relação a
é
, que é proporcional ao numerador
. Isso indica que uma substituição do tipo
deve simplificar a integral.
Faço a substituição explicitamente:
Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
ou a combinação que aparece no integrando,
Passo 3
Reescrevo a integral original em termos de
. Substituo
por
e
por
:
Passo 4
Agora aplico a regra de potências para integrais: para
,
Aqui
, então
Portanto
Volto à variável
substituindo
:
Adiciono a constante de integração
.
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para ficar mais seguro): tomo
Calculo
:
A derivada coincide com o integrando, portanto a primitiva encontrada está correta.