Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A integranda é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Não há limites de integração, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a derivada da função
é
Isso significa que uma primitiva de
em termos de
é
(mais uma constante). Porém, na nossa integranda o argumento é
, não simplesmente
. Para tratar isso, usamos substituição (regra da cadeia inversa).
Passo 3
Fazemos a substituição padrão para lidar com a composição
. Definimos
Agora calculamos
em termos de
:
Passo 4
Substituímos na integral usando
e
. A integranda
vira
. Logo
Passo 5
Agora usamos a antiderivada conhecida de
. Como
, uma primitiva é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos a primitiva final:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta obtida deve voltar a integranda.
que coincide com a integranda — está correto.