Calcule as integrais abaixo:
\int \operatorname{sec} ^{2}(3 x-4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(3x-4)\,dx.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A integranda é \operatorname{sec}^{2}(3x-4).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}^{2}(3x-4).
  • Não há limites de integração, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a derivada da função \tan é
\frac{d}{du}\big(\tan u\big)=\operatorname{sec}^{2}u.
Isso significa que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}u em termos de u é \tan u (mais uma constante). Porém, na nossa integranda o argumento é 3x-4, não simplesmente u. Para tratar isso, usamos substituição (regra da cadeia inversa).

Passo 3

Fazemos a substituição padrão para lidar com a composição 3x-4. Definimos
u = 3x-4.
Agora calculamos du em termos de dx:
\frac{du}{dx}=3 \quad\Rightarrow\quad du=3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.

Passo 4

Substituímos na integral usando u e dx=\dfrac{du}{3}. A integranda \operatorname{sec}^{2}(3x-4) vira \operatorname{sec}^{2}u. Logo
\int \operatorname{sec}^{2}(3x-4)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}u\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}u\,du.

Passo 5

Agora usamos a antiderivada conhecida de \operatorname{sec}^{2}u. Como \dfrac{d}{du}(\tan u)=\operatorname{sec}^{2}u, uma primitiva é \tan u. Assim
\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}u\,du = \frac{1}{3}\tan u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo u=3x-4), obtemos a primitiva final:
\frac{1}{3}\tan(3x-4)+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta obtida deve voltar a integranda.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\tan(3x-4)\right)=\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}(3x-4)\cdot 3=\operatorname{sec}^{2}(3x-4),
que coincide com a integranda — está correto.

Resposta

\dfrac{1}{3}\tan(3x-4)+C

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