Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que f(x) é contínua por pedaços em \mathbb{R} e
f(x) é função 2-" periódica e contínua por pedaçõs em [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede a forma geral dos coeficientes de Fourier e da série de Fourier para uma função f(x) de período 2, contínua por pedaços em \mathbb{R} (logo também em [-1,1]). Para isso vamos usar o fato de que, sempre que uma função é 2-periódica, podemos tomar L=1 e escrever as fórmulas padrão de série de Fourier em [-L,L].

Passo 2

Como L=1, o pulsar fundamental é \omega_{0}=\frac{\pi}{L}=\pi. Os coeficientes são dados por
a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x,
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(n\omega_{0}x\bigr)\,\mathrm{d}x =\int_{-1}^{1}f(x)\cos\bigl(n\pi x\bigr)\,\mathrm{d}x,\quad n\ge1,
b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(n\omega_{0}x\bigr)\,\mathrm{d}x =\int_{-1}^{1}f(x)\sin\bigl(n\pi x\bigr)\,\mathrm{d}x,\quad n\ge1.

Passo 3

Com esses coeficientes, a série de Fourier de f em [-1,1] (e estendida periodicamente) fica
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_{n}\cos(n\pi x)+b_{n}\sin(n\pi x)\Bigr].

Resposta

a_{0}=\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x, \quad a_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,\mathrm{d}x, \quad b_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x,
\boxed{ f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(n\pi x)+b_{n}\sin(n\pi x)\bigr] }.

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