Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
f(x)=x^{2}, onde x \in[-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier, em 2\pi-período, da função
f(x)=x^2,\quad x\in[-\pi,\pi].
O conteúdo aqui envolve definição de coeficientes de Fourier, reconhecimento de paridade e cálculo de integrais por partes.

Passo 2

Como f(x)=x^2 é função par e 2\pi-periódica, teremos
  1. Todos os coeficientes b_n serão zero.
  2. A série se reduz a
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx).

Passo 3

Calculamos a_0 pela fórmula para funções pares:
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx
\int_{0}^{\pi}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^3}{3}
\implies a_0=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3}=\frac{2\pi^2}{3},
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\frac{a_0}{2}=\frac{\pi^2}{3}.

Passo 4

Calculamos
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes:
  1. \displaystyle u=x^2,\;dv=\cos(nx)\,dx \implies v=\frac{\sin(nx)}{n},\;du=2x\,dx. \int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\left.\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} -\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.O termo de fronteira some pois \sin(n\pi)=0.
  2. No segundo integral, faça
    \displaystyle u=x,\;dv=\sin(nx)\,dx \implies v=-\frac{\cos(nx)}{n},\;du=dx. \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
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\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =-\frac{2}{n}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Bigr) =\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}.
Assim
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{n^2} =\frac{4(-1)^n}{n^2}.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a série de Fourier de f(x)=x^2:
x^2 =\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

Resposta

x^2 =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

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