Calcule as integrais abaixo:
\int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo \mathbf{F}=3 y \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+4 z \mathbf{k} e C dada por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{4} \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva parametrizada. O conteúdo aqui é “integrais de linha de campos vetoriais”: usamos a fórmula
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Temos
\mathbf{F}=3y\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+4z\,\mathbf{k}
e
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}+t^{4}\,\mathbf{k}, com 0\le t\le1.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização, pois d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,\;t^{2},\;t^{4}\bigr) =(1,\;2t,\;4t^{3}).

Passo 3

Substituir \mathbf{r}(t) em \mathbf{F} para obter \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(3\,y,\;2\,x,\;4\,z\bigr) =\bigl(3t^{2},\;2t,\;4t^{4}\bigr).

Passo 4

Fazer o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =3t^{2}\cdot1 + 2t\cdot(2t) + 4t^{4}\cdot(4t^{3}) =3t^{2}+4t^{2}+16t^{7} =7t^{2}+16t^{7}.

Passo 5

Integrar de t=0 até t=1:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\bigl(7t^{2}+16t^{7}\bigr)\,dt =\left[\frac{7t^{3}}{3}+2t^{8}\right]_{0}^{1} =\frac{7}{3}+2 =\frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}

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