Sejam
e
dois pontos quaisquer em
. Uma possível parametrização para o segmento de reta que une
e
é dada por:
, com
.
Como exemplo, considere
e
. Nesse caso, o segmento de reta
pode ser descrito pela função vetorial
, com:
, e
. Portanto:
.
Agora, resolva os itens abaixo:
(a) Apresente uma parametrização para o segmento de reta que une os pontos
e
.
(b) A parametrização
, com
, continua sendo uma reta que une
e
? Realize um experimento utilizando o método de sua preferência e forneça uma explicação matemática para a questão.
Como exemplo, considere
Agora, resolva os itens abaixo:
(a) Apresente uma parametrização para o segmento de reta que une os pontos
(b) A parametrização
Passo 1
O enunciado trata de parametrizações de segmentos de reta em
. Para unir dois pontos
e
normalmente usamos
que gera o segmento de reta de ponta a ponta. No item (a) vamos aplicar essa fórmula em
. No item (b) vamos testar a parametrização alternativa
e explicar por que ela também gera a mesma reta.
Passo 2
Item (a): seja
e
. Pela fórmula padrão,
tem coordenadas
Logo
Passo 3
Item (b) – experimento numérico: defina
. Escolhendo
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: Calculando em coordenadas: E este ponto é colinear a e , pois
.
Passo 4
Explicação matemática: defina
. Então
percorre todo o intervalo
quando
vai de
a
. Temos
Mas
é exatamente a forma afim que descreve o segmento de reta entre
e
. Como
varia de
a
, o conjunto imagem de
é o mesmo segmento
. A diferença é apenas na velocidade: aqui a velocidade
não é constante, mas o traçado (imagem) continua sendo a reta que une
e
.
Resposta
(a)
(b) Sim, continua sendo o segmento de reta que une e
. Basta notar que definindo
obtemos
(b) Sim, continua sendo o segmento de reta que une
que é exatamente a parametrização afim do segmento
.