Sejam A e B dois pontos quaisquer em \mathbb{R}^{n}. Uma possível parametrização para o segmento de reta que une A e B é dada por: \mathbf{r}(t)=(1-t) A+t B, com 0 \leqslant t \leqslant 1.
Como exemplo, considere A=(2,3) e B=(-1,4). Nesse caso, o segmento de reta A B pode ser descrito pela função vetorial \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}, com: x(t)=(1-t) 2-t=2-3 t, e y(t)=(1-t) 3+4 t=3+t. Portanto: \mathbf{r}(t)=(2-3 t) \mathbf{i}+(3+t) \mathbf{j}.
Agora, resolva os itens abaixo:
(a) Apresente uma parametrização para o segmento de reta que une os pontos A=(1,0,1) e B=(2,1,-1).
(b) A parametrização \mathbf{r}(t)=\left(1-t^{2}\right) A+t^{2} B, com t \in[0,1], continua sendo uma reta que une A e B ? Realize um experimento utilizando o método de sua preferência e forneça uma explicação matemática para a questão.

Passo 1

O enunciado trata de parametrizações de segmentos de reta em \mathbb{R}^{n}. Para unir dois pontos A e B normalmente usamos
\mathbf{r}(t)=(1-t)A + tB,\quad t\in[0,1],
que gera o segmento de reta de ponta a ponta. No item (a) vamos aplicar essa fórmula em \mathbb{R}^{3}. No item (b) vamos testar a parametrização alternativa
\mathbf{r}(t)=\bigl(1-t^{2}\bigr)A + t^{2}B,\quad t\in[0,1],
e explicar por que ela também gera a mesma reta.

Passo 2

Item (a): seja A=(1,0,1) e B=(2,1,-1). Pela fórmula padrão,
\mathbf{r}(t)=(1-t)A + tB
tem coordenadas
x(t)=(1-t)\,1 + t\,2 = 1 + t,
y(t)=(1-t)\,0 + t\,1 = t,
z(t)=(1-t)\,1 + t\,(-1) = 1 - 2t.
Logo
\mathbf{r}(t) = (1 + t)\,\mathbf{i} \;+\; t\,\mathbf{j} \;+\;(1 - 2t)\,\mathbf{k}, \quad t\in[0,1].

Passo 3

Item (b) – experimento numérico: defina
\mathbf{r}(t)=(1-t^{2})A + t^{2}B. Escolhendo t=0,\,0{,}5,\,1:
  • Para t=0: \mathbf{r}(0)=A.
  • Para t=1: \mathbf{r}(1)=B.
  • Para t=0{,}5: \mathbf{r}(0{,}5) =(1-0{,}25)A + 0{,}25B =0{,}75A + 0{,}25B.Calculando em coordenadas: 0{,}75\,(1,0,1) + 0{,}25\,(2,1,-1) = (0{,}75+0{,}5,\;0{,}25,\;0{,}75-0{,}25) = (1{,}25,\;0{,}25,\;0{,}50).E este ponto é colinear a A e B, pois
    \mathbf{r}(0{,}5)-A = (0{,}25,0{,}25,-0{,}5)=0{,}25\,(B-A).

Passo 4

Explicação matemática: defina s=t^{2}. Então s percorre todo o intervalo [0,1] quando t vai de 0 a 1. Temos
\mathbf{r}(t)= (1-t^{2})A + t^{2}B = (1-s)A + sB.
Mas (1-s)A + sB é exatamente a forma afim que descreve o segmento de reta entre A e B. Como s varia de 0 a 1, o conjunto imagem de \mathbf{r}(t) é o mesmo segmento AB. A diferença é apenas na velocidade: aqui a velocidade \mathbf{r}'(t)=2t\,(B-A) não é constante, mas o traçado (imagem) continua sendo a reta que une A e B.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=(1+t)\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+(1-2t)\,\mathbf{k},\;t\in[0,1].
(b) Sim, continua sendo o segmento de reta que une A e B. Basta notar que definindo s=t^{2} obtemos
\mathbf{r}(t)=(1-s)A + sB,\quad s\in[0,1],
que é exatamente a parametrização afim do segmento AB.

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