Questão. (30 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
com condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede a solução do sistema
com condições iniciais
e
. O conteúdo é resolução de sistemas lineares de EDOs acopladas, que leva a uma equação de segunda ordem tipo oscilador harmônico.
Passo 2
Para desacoplar, derivamos a primeira equação em relação a
, obtendo
Como
, resulta
que é a famosa equação do oscilador harmônico simples.
Passo 3
A equação
tem solução geral
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Usando
temos
Para achar
, calculamos
. Assim
Mas pela primeira equação inicial
, logo
. Portanto
Passo 5
Para obter
, basta usar
. Como
, temos