{ }^{a} Questão. (30 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
x^{\prime}(t)=-y
y^{\prime}(t)=x
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
x'(t) = -y(t),
y'(t) = x(t),
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=0. O conteúdo é resolução de sistemas lineares de EDOs acopladas, que leva a uma equação de segunda ordem tipo oscilador harmônico.

Passo 2

Para desacoplar, derivamos a primeira equação em relação a t, obtendo
x''(t) = -y'(t).
Como y'(t)=x(t), resulta
x''(t) = -x(t),
que é a famosa equação do oscilador harmônico simples.

Passo 3

A equação
x''(t) + x(t) = 0
tem solução geral
x(t) = A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Usando x(0)=1 temos
x(0) = A\cos0 + B\sin0 = A = 1.
Para achar B, calculamos x'(t) = -A\sin t + B\cos t. Assim
x'(0) = B.
Mas pela primeira equação inicial x'(0) = -y(0) = 0, logo B = 0. Portanto
x(t) = \cos t.

Passo 5

Para obter y(t), basta usar y(t) = -x'(t). Como x'(t) = -\sin t, temos
y(t) = \sin t.

Resposta

x(t) = \cos t
y(t) = \sin t

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