Calcule as integrais abaixo:
\int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo \mathbf{F}=y \mathbf{i} e C dada por \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \operatorname{sen} t \mathbf{j}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F}=y\,\mathbf{i} ao longo da curva C, dada pela circunferência de raio 2 parametrizada por
\mathbf{r}(t)=2\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que se resolve substituindo a parametrização na expressão \int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculemos a derivada da parametrização para obter d\mathbf{r}:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j}\bigr) =(-2\sin t)\,\mathbf{i}+(2\cos t)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Substituímos y(t)=2\sin t em \mathbf{F} e fazemos o produto escalar com \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=y(t)\,\mathbf{i}=2\sin t\,\mathbf{i},
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(2\sin t)\cdot(-2\sin t)+(0)\cdot(2\cos t) =-4\sin^2 t.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}(-4\sin^2 t)\,dt =-4\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt=\pi, temos
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-4\pi.

Resposta

-4\pi

Exercícios relacionados