Calcule as integrais abaixo:
\int_{C} z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2} d s sendo C a curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C} z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2}\,ds
onde C é dada pela parametrização
\mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}+(\operatorname{sen} t)\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}, \quad 0\le t\le 2\pi.
O conteúdo é integral de linha de uma função escalar, e vamos precisar:
  1. Expressar x,y,z em função de t.
  2. Calcular o elemento de comprimento ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt.
  3. Integrar em t.

Passo 2

Da parametrização temos
x=\cos t,\quad y=\operatorname{sen} t,\quad z=2t.
Logo
x^{2}+y^{2}= \cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2} =\bigl(1+(2t)^{2}\bigr)^{1/2} =\sqrt{1+4t^{2}}.

Passo 3

Derivando \mathbf{r}(t) obtemos
\mathbf{r}'(t)=(-\operatorname{sen} t)\,\mathbf{i}+(\cos t)\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k},
e seu módulo é
|\mathbf{r}'(t)| =\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}+2^{2}} =\sqrt{1+4} =\sqrt{5}.
Assim ds=\sqrt{5}\,dt.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, obtemos
\int_{C}z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2}\,ds =\int_{0}^{2\pi}\bigl(2t\cdot\sqrt{1+4t^{2}}\bigr)\bigl(\sqrt{5}\bigr)\,dt =2\sqrt{5}\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.

Passo 5

Para calcular
\int t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt,
fazemos a substituição u=1+4t^{2}, de modo que du=8t\,dt ou t\,dt=du/8. Então
\int t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt =\int \sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} =\frac{1}{12}u^{3/2}.

Passo 6

Voltando a t e avaliando de 0 a 2\pi, fica
\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt =\frac{1}{12}\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}\Big|_{0}^{2\pi} =\frac{1}{12}\Bigl[(1+16\pi^{2})^{3/2}-1\Bigr].
Multiplicando pelo fator 2\sqrt{5}, temos a integral original.

Resposta

\int_{C}z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2}\,ds =\frac{\sqrt{5}}{6}\Bigl[(1+16\pi^{2})^{3/2}-1\Bigr].

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