Calcule as integrais abaixo: \int_{C} z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2} d s sendo C a curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi. Passo 1O enunciado pede a integral de linha \int_{C} z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2}\,ds onde C é dada pela parametrização \mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}+(\operatorname{sen} t)\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}, \quad 0\le t\le 2\pi. O conteúdo é integral de linha de uma função escalar, e vamos precisar: Expressar x,y,z em função de t. Calcular o elemento de comprimento ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt. Integrar em t. Passo 2Da parametrização temos x=\cos t,\quad y=\operatorname{sen} t,\quad z=2t. Logo x^{2}+y^{2}= \cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2} =\bigl(1+(2t)^{2}\bigr)^{1/2} =\sqrt{1+4t^{2}}. Passo 3Derivando \mathbf{r}(t) obtemos \mathbf{r}'(t)=(-\operatorname{sen} t)\,\mathbf{i}+(\cos t)\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}, e seu módulo é |\mathbf{r}'(t)| =\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}+2^{2}} =\sqrt{1+4} =\sqrt{5}. Assim ds=\sqrt{5}\,dt. Passo 4Substituindo tudo na integral, obtemos \int_{C}z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2}\,ds =\int_{0}^{2\pi}\bigl(2t\cdot\sqrt{1+4t^{2}}\bigr)\bigl(\sqrt{5}\bigr)\,dt =2\sqrt{5}\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt. Passo 5Para calcular \int t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt, fazemos a substituição u=1+4t^{2}, de modo que du=8t\,dt ou t\,dt=du/8. Então \int t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt =\int \sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} =\frac{1}{12}u^{3/2}. Passo 6Voltando a t e avaliando de 0 a 2\pi, fica \int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt =\frac{1}{12}\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}\Big|_{0}^{2\pi} =\frac{1}{12}\Bigl[(1+16\pi^{2})^{3/2}-1\Bigr]. Multiplicando pelo fator 2\sqrt{5}, temos a integral original. Resposta \int_{C}z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{1/2}\,ds =\frac{\sqrt{5}}{6}\Bigl[(1+16\pi^{2})^{3/2}-1\Bigr]. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados { }^{a} Questão. (30 pontos) Determine a solução do seguinte sistema: x^{\prime}(t)=-y y^{\prime}(t)=x com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=0. { }^{a} Questão. (10 pontos) a) Mostre que se y=e^{r x} é solução da equação diferencial y^{v i}+y=0, então r satisfaz a equação característica r^{6}+1=0. (30 pontos) b) Determine a solução geral da equação diferencial y^{n i}+y=0. Calcule as integrais abaixo: \int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo \mathbf{F}=3 y \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+4 z \mathbf{k} e C dada por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{4} \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant 1. Calcule as integrais abaixo: \int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo \mathbf{F}=y \mathbf{i} e C dada por \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \operatorname{sen} t \mathbf{j}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi.