Considere a função vetorial de uma variável \mathbf{r}:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+ z(t) \mathbf{k}, que representa a posição de uma partícula no instante t. Suponha que as primeiras e segundas derivadas das funções coordenadas x(t), y(t) e z(t) existam. Apresente as definições das seguintes grandezas associadas ao movimento descrito por \mathbf{r}(t) :
(a) vetor velocidade;
(b) vetor aceleração;
(c) rapidez (velocidade escalar).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função vetorial de uma variável
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},
definida em [0,+\infty), e pede para definirmos: (a) vetor velocidade, (b) vetor aceleração e (c) rapidez. Vamos usar derivação de funções vetoriais e norma de vetores.

Passo 2

O vetor velocidade \mathbf{v}(t) é a derivada de \mathbf{r}(t) em relação a t. Logo,
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\frac{dx}{dt}\,\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\,\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\,\mathbf{k} =x'(t)\,\mathbf{i}+y'(t)\,\mathbf{j}+z'(t)\,\mathbf{k}.

Passo 3

O vetor aceleração \mathbf{a}(t) é a derivada da velocidade em relação a t. Assim,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =\frac{d^2x}{dt^2}\,\mathbf{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\,\mathbf{j}+\frac{d^2z}{dt^2}\,\mathbf{k } =x''(t)\,\mathbf{i}+y''(t)\,\mathbf{j}+z''(t)\,\mathbf{k}.

Passo 4

A rapidez v_{\text{esc}}(t) é o módulo (norma) do vetor velocidade. Portanto,
v_{\text{esc}}(t)=\big\|\mathbf{v}(t)\big\| =\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}+\bigl(z'(t)\bigr)^{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{v}(t)=x'(t)\,\mathbf{i}+y'(t)\,\mathbf{j}+z'(t)\,\mathbf{k}.
(b) \displaystyle \mathbf{a}(t)=x''(t)\,\mathbf{i}+y''(t)\,\mathbf{j}+z''(t)\,\mathbf{k}.
(c) \displaystyle v_{\text{esc}}(t)=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}+\bigl(z'(t)\bigr)^{2}}.

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