Calcule as integrais abaixo:
\int \operatorname{arsen}(x) d x

Passo 1

Estamos pedindo para calcular a integral de \operatorname{arsen}(x), que é o mesmo que \arcsin(x). O método mais direto aqui é usar integração por partes, pois temos o produto de uma função fácil de derivar \arcsin(x) por uma função fácil de integrar 1.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes:
u = \arcsin(x), \quad dv = dx.
Então derivamos e integramos:
du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, \quad v = \int 1\,dx = x.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int \arcsin(x)\,dx = x\,\arcsin(x) - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, fazemos a substituição
w = 1 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad dw = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,dw.
Então
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,dw}{\sqrt{w}} = -\frac{1}{2}\int w^{-\tfrac12}\,dw = -\frac{1}{2}\cdot 2\,w^{\tfrac12} = -\sqrt{w} = -\sqrt{1 - x^2}.

Passo 5

Voltando à integração por partes,
\int \arcsin(x)\,dx = x\,\arcsin(x) - \bigl(-\sqrt{1 - x^2}\bigr) = x\,\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \operatorname{arsen}(x)\,dx = x\,\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C.

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