Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se calcular a integral indefinida
. - As funções presentes são
e , ambas com argumento . - O resultado esperado é uma primitiva (antiderivada) em termos de
, mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método (e por que): substituição (mudança de variável).
- Dica prática: quando a integranda tem uma função
multiplicada pela derivada (ou por uma função proporcional à derivada) de , a substituição costuma simplificar. - Aqui reconhecemos que a derivada de
é (regra da cadeia). Como aparece na integranda, faz sentido definir para transformar a integral em algo simples.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
- Defina
. - Calcule
usando a regra da cadeia: a derivada de em relação a é . Assim,
- Isolando
obtemos
Passo 4
Substituir na integral e integrar em
.
- Substituindo, a integral fica
- Agora integre
: a primitiva de é . Então
Passo 5
Voltar para a variável
(retro-substituição).
- Lembrando que
, substitui-se de volta:
Passo 6
Observações úteis e forma alternativa.
- Usando a identidade trigonométrica
pode-se escrever alternativamente
onde
é outra constante de integração (pois subtrair
pode ser absorvido na constante).
- Padrão rápido para a prova: ao ver
junto com , pense imediatamente em , porque traz .
Passo 7
Exemplo extra rápido para fixar (mesma ideia):
-
porque dá . -
porque dá .