Calcule as integrais abaixo:
\int \operatorname{sec} ^{2}(3 x) \cdot \operatorname{tg}(3 x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,\tan(3x)\,dx.
  • As funções presentes são \operatorname{sec}^{2}(3x) e \tan(3x), ambas com argumento 3x.
  • O resultado esperado é uma primitiva (antiderivada) em termos de x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (e por que): substituição (mudança de variável).
  • Dica prática: quando a integranda tem uma função g(x) multiplicada pela derivada (ou por uma função proporcional à derivada) de g(x), a substituição u=g(x) costuma simplificar.
  • Aqui reconhecemos que a derivada de \tan(3x) é 3\operatorname{sec}^{2}(3x) (regra da cadeia). Como \operatorname{sec}^{2}(3x) aparece na integranda, faz sentido definir u=\tan(3x) para transformar a integral em algo simples.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
  • Defina \displaystyle u=\tan(3x).
  • Calcule du usando a regra da cadeia: a derivada de \tan(3x) em relação a x é 3\operatorname{sec}^{2}(3x). Assim,
du = 3\operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx.
  • Isolando \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx obtemos
\operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituir na integral e integrar em u.
  • Substituindo, a integral fica
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,\tan(3x)\,dx = \int \left(\frac{1}{3}u\right)\,du = \frac{1}{3}\int u\,du.
  • Agora integre \int u\,du: a primitiva de u é \dfrac{u^{2}}{2}. Então
\frac{1}{3}\int u\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{u^{2}}{6} + C.

Passo 5

Voltar para a variável x (retro-substituição).
  • Lembrando que u=\tan(3x), substitui-se de volta:
\frac{u^{2}}{6}+C = \frac{1}{6}\tan^{2}(3x) + C.

Passo 6

Observações úteis e forma alternativa.
  • Usando a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 pode-se escrever alternativamente
\frac{1}{6}\tan^{2}(3x)+C = \frac{1}{6}\operatorname{sec}^{2}(3x) + C',
onde C' é outra constante de integração (pois subtrair \tfrac{1}{6} pode ser absorvido na constante).
  • Padrão rápido para a prova: ao ver \operatorname{sec}^{2}(ax) junto com \tan(ax), pense imediatamente em u=\tan(ax), porque du traz \operatorname{sec}^{2}(ax).

Passo 7

Exemplo extra rápido para fixar (mesma ideia):
  • \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x)+C porque u=\tan(5x) du=5\operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx.
  • \displaystyle \int 2x\,e^{x^{2}}\,dx = e^{x^{2}}+C porque u=x^{2} du=2x\,dx.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\tan^{2}(3x)+C

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