Calcule as integrais abaixo:
\int \operatorname{sen}^{1 / 2}(2 \theta) \cos (2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{1/2}(2\theta)\cos(2\theta)\,d\theta,
ou seja, a integral de (\sin(2\theta))^{1/2}\cdot\cos(2\theta) em relação a \theta. Informação importante: a notação \operatorname{sen}^{1/2}(2\theta) significa [\sin(2\theta)]^{1/2}, a raiz quadrada principal de \sin(2\theta), portanto a expressão está bem definida (no sentido real) quando \sin(2\theta)\ge 0. Vou resolver a integral em intervalos onde isso vale.

Passo 2

Estratégia (explicando como funciona a técnica): quando dentro da integral aparece uma função e a sua derivada multiplicando-a (aqui \cos(2\theta) é praticamente a derivada de \sin(2\theta) até um fator constante), é natural fazer a substituição u=\sin(2\theta). Isso simplifica muito porque transforma a integral numa integral de potência de u, que é fácil de integrar.
Façamos a substituição. Defina
u=\sin(2\theta).
Agora calculamos du usando a regra da cadeia: a derivada de \sin(2\theta) em relação a \theta é 2\cos(2\theta), então
du = 2\cos(2\theta)\,d\theta.
Desse modo temos
\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original: onde estava [\sin(2\theta)]^{1/2} passa a ser u^{1/2}, e \cos(2\theta)\,d\theta passa a ser \frac{1}{2}\,du. Portanto
\int [\sin(2\theta)]^{1/2}\cos(2\theta)\,d\theta = \int u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 5

Voltando para a variável \theta: substituímos u=\sin(2\theta) de volta. Assim obtemos a primitiva
\frac{1}{3}\,[\sin(2\theta)]^{3/2}+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando este resultado obtemos
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{3}[\sin(2\theta)]^{3/2}\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}[\sin(2\theta)]^{1/2}\cdot 2\cos(2\theta) = [\sin(2\theta)]^{1/2}\cos(2\theta),
que é exatamente o integrando. Tudo bate.
Observação sobre domínio: essa primitiva está correta nos intervalos onde \sin(2\theta)\ge 0 (pois usamos a raiz quadrada principal). Se você trabalhar em intervalos onde \sin(2\theta) muda de sinal, é preciso tratar pedaços separados ou usar uma extensão com valores absolutos/definição complexa, mas para a maioria das provas basta declarar que a solução vale quando \sin(2\theta)\ge 0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}[\sin(2\theta)]^{3/2}+C

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