Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou seja, a integral de
em relação a
. Informação importante: a notação
significa
, a raiz quadrada principal de
, portanto a expressão está bem definida (no sentido real) quando
. Vou resolver a integral em intervalos onde isso vale.
Passo 2
Estratégia (explicando como funciona a técnica): quando dentro da integral aparece uma função e a sua derivada multiplicando-a (aqui
é praticamente a derivada de
até um fator constante), é natural fazer a substituição
. Isso simplifica muito porque transforma a integral numa integral de potência de
, que é fácil de integrar.
Façamos a substituição. Defina
Agora calculamos
usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, então
Desse modo temos
Passo 3
Substituindo tudo na integral original: onde estava
passa a ser
, e
passa a ser
. Portanto
Passo 4
Agora integramos usando a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
. Então
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 5
Voltando para a variável
: substituímos
de volta. Assim obtemos a primitiva
Verificação rápida (útil na prova): derivando este resultado obtemos
que é exatamente o integrando. Tudo bate.
Observação sobre domínio: essa primitiva está correta nos intervalos onde
(pois usamos a raiz quadrada principal). Se você trabalhar em intervalos onde
muda de sinal, é preciso tratar pedaços separados ou usar uma extensão com valores absolutos/definição complexa, mas para a maioria das provas basta declarar que a solução vale quando
.