Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Escolha do método: substituição (trocar a variável de integração).
Por que essa escolha? Porque dentro da raiz temos e multiplicando temos
. Isso sugere escolher como nova variável algo que envolva
, já que a derivada de
é proporcional a
, o que cancela o fator
. Esse é um padrão clássico: quando aparece
multiplicando uma função de
, a substituição
simplifica muito.
Por que essa escolha? Porque dentro da raiz temos
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos o diferencial
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, temos
Reescrevendo, obtemos
Expliquei:
é a nova variável (representa
) e
é a sua variação infinitesimal; a relação acima nos permite substituir
por
na integral.
Passo 4
Mudança dos limites de integração. Como a integral é definida, precisamos transformar os limites de
em limites de
.
- Para
: . - Para
: .
Portanto os limites em
vão de
até
.
Passo 5
Substituímos tudo na integral original. Temos
Usando
e os novos limites:
Tirando o sinal negativo trocamos os limites:
Observe que
. Então
Passo 6
Aplicamos a regra da potência para integrar em
.
Fórmula (regra da potência): para ,
Fórmula (regra da potência): para
Aqui
. Então
Explico:
. Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 7
Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada:
Agora substituímos os limites:
Passo 8
Comentário final e dica prática: o padrão visto aqui é muito útil em provas — sempre que aparecer
multiplicando uma função de
(ou
multiplicando uma função de
), pense em
(ou
). Para integrandos do tipo
a primitiva é
obtida pela mesma substituição
.