Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}(x) \sqrt{\cos (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\,\sqrt{\cos(x)}\,dx.
Informações fornecidas:
  • O integrando é \operatorname{sen}(x)\sqrt{\cos(x)}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\pi/2.
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Escolha do método: substituição (trocar a variável de integração).
Por que essa escolha? Porque dentro da raiz temos \cos(x) e multiplicando temos \operatorname{sen}(x)\,dx. Isso sugere escolher como nova variável algo que envolva \cos(x), já que a derivada de \cos(x) é proporcional a -\operatorname{sen}(x), o que cancela o fator \operatorname{sen}(x)\,dx. Esse é um padrão clássico: quando aparece f'(x) multiplicando uma função de f(x), a substituição u=f(x) simplifica muito.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(x).
Agora calculamos o diferencial du. Lembrando que a derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x), temos
du = -\sin(x)\,dx.
Reescrevendo, obtemos
\sin(x)\,dx = -du.
Expliquei: u é a nova variável (representa \cos(x)) e du é a sua variação infinitesimal; a relação acima nos permite substituir \sin(x)\,dx por -du na integral.

Passo 4

Mudança dos limites de integração. Como a integral é definida, precisamos transformar os limites de x em limites de u.
  • Para x=0: u=\cos(0)=1.
  • Para x=\pi/2: u=\cos(\pi/2)=0.
Portanto os limites em u vão de u=1 até u=0.

Passo 5

Substituímos tudo na integral original. Temos
I=\int_{0}^{\pi/2} \sin(x)\,\sqrt{\cos(x)}\,dx =\int_{x=0}^{x=\pi/2} \sqrt{u}\,(\sin(x)\,dx).
Usando \sin(x)\,dx=-du e os novos limites:
I=\int_{u=1}^{u=0} \sqrt{u}\,(-du).
Tirando o sinal negativo trocamos os limites:
I=\int_{u=0}^{u=1} \sqrt{u}\,du.
Observe que \sqrt{u}=u^{1/2}. Então
I=\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.

Passo 6

Aplicamos a regra da potência para integrar em u.
Fórmula (regra da potência): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{u^{3/2}}{3/2}.
Explico: 1/2+1=3/2. Dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3.

Passo 7

Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada:
I=\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1}=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{1}.
Agora substituímos os limites:
I=\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}=\frac{2}{3}-0=\frac{2}{3}.

Passo 8

Comentário final e dica prática: o padrão visto aqui é muito útil em provas — sempre que aparecer \sin(x) multiplicando uma função de \cos(x) (ou \cos(x) multiplicando uma função de \sin(x)), pense em u=\cos(x) (ou u=\sin(x)). Para integrandos do tipo \sin(x)\cos^{n}(x) a primitiva é
\int \sin(x)\cos^{n}(x)\,dx=-\frac{\cos^{n+1}(x)}{n+1}+C,
obtida pela mesma substituição u=\cos(x).

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados