Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo.
\int_{0}^{2} \int_{1}^{e^{x}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral dupla equivalente trocando a ordem de integração da integral
\int_{0}^{2} \int_{1}^{e^{x}} dy\,dx.
Informações dadas:
\begin{cases} x \text{ varia de } 0 \text{ a } 2,\\[4pt] y \text{ varia de } 1 \text{ a } e^{x}\\ \text{ (dependendo de } x\text{).} \end{cases}
A tarefa é descrever a mesma região do plano (x,y) com a integração primeiro em x e depois em y, ou seja, encontrar os limites em termos de y e escrever a integral \displaystyle \int_{y=\_}^{y=\_}\int_{x=\_}^{x=\_} dx\,dy.]

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região de integração D no plano (x,y). As curvas que definem os contornos são:
y=1,\qquad y=e^{x},\qquad x=0,\qquad x=2.
Para cada x entre 0 e 2, y vai de 1 até e^{x}. Então D é o conjunto
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; 1\le y\le e^{x}\}.
É útil visualizar: a curva y=e^{x} é crescente; em x=0 temos y=e^{0}=1 e em x=2 temos y=e^{2}. Assim a região fica entre a reta horizontal y=1 e a curva exponencial y=e^{x}, para x entre 0 e 2.

Passo 3

Determinar o intervalo total de y. Observando os valores extremos da curva y=e^{x} para x\in[0,2]:
y_{\min}=e^{0}=1,\qquad y_{\max}=e^{2}.
Portanto, ao inverter a ordem, y vai de 1 até e^{2}:
1\le y\le e^{2}.

Passo 4

Para um y fixo em [1,e^{2}], precisamos achar os valores de x que pertencem a D. Pela descrição de D temos a condição
y\le e^{x}.
Como a função x\mapsto e^{x} é estritamente crescente e invertível, aplicamos o logaritmo natural para isolar x:
y\le e^{x}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln y \le x.
Além disso x sempre está entre 0 e 2. Combinando isso, para um y fixo:
\max(0,\ln y)\le x\le 2.
Mas como y\ge 1 temos \ln y\ge 0, logo \max(0,\ln y)=\ln y. Portanto, para y\in[1,e^{2}] temos
\ln y \le x \le 2.

Passo 5

Escrevemos a integral com a ordem invertida: integrar primeiro em x de \ln y até 2, e depois em y de 1 até e^{2}. Assim a integral equivalente é
\int_{1}^{e^{2}} \int_{\ln y}^{2} dx\,dy.
Como verificação rápida (opcional), se calcularmos a integral original temos
\int_{0}^{2} (e^{x}-1)\,dx = \bigl[e^{x}-x\bigr]_{0}^{2} = e^{2}-3,
e se calcularmos a integral invertida obtemos o mesmo valor:
\int_{1}^{e^{2}} (2-\ln y)\,dy = \bigl[3y - y\ln y\bigr]_{1}^{e^{2}} = e^{2}-3.
Isso confirma que as duas expressões representam a mesma integral sobre a mesma região D.

Resposta

\int_{1}^{e^{2}} \int_{\ln y}^{2} dx\,dy

Exercícios relacionados