Utilizando os teoremas de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:
(b) g(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt{\frac{x}{2 x+3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt{\frac{x}{2x+3}}}.
O conteúdo envolvido são regras de derivação: simplificação algébrica com expoentes, regra do produto, regra da cadeia e regra do poder.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a raiz como potência e simplificamos os expoentes. Temos
g(x)=x^{3}\Bigl(\frac{x}{2x+3}\Bigr)^{-\tfrac12}.
Usando \bigl(\tfrac{x}{2x+3}\bigr)^{-\tfrac12}=x^{-\tfrac12}(2x+3)^{\tfrac12}, fica
g(x)=x^{3}\,x^{-\tfrac12}\,(2x+3)^{\tfrac12} =x^{\tfrac{5}{2}}\,(2x+3)^{\tfrac12}.

Passo 3

Agora g(x) é produto de x^{5/2} por (2x+3)^{1/2}. Vamos usar a regra do produto:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x^{\tfrac{5}{2}}\bigr]\,(2x+3)^{\tfrac12} + x^{\tfrac{5}{2}}\,\frac{d}{dx}\bigl[(2x+3)^{\tfrac12}\bigr].

Passo 4

Aplicando a regra do poder e a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{\tfrac{5}{2}}\bigr]=\frac{5}{2}\,x^{\tfrac{3}{2}}, \quad \frac{d}{dx}\bigl[(2x+3)^{\tfrac12}\bigr] =\tfrac12\,(2x+3)^{-\tfrac12}\cdot2 =(2x+3)^{-\tfrac12}.
Logo,
g'(x) =\frac{5}{2}\,x^{\tfrac{3}{2}}\,(2x+3)^{\tfrac12} + x^{\tfrac{5}{2}}\,(2x+3)^{-\tfrac12}.

Passo 5

Para simplificar, fatoramos x^{3/2}(2x+3)^{-1/2}:
g'(x) =x^{\tfrac{3}{2}}(2x+3)^{-\tfrac12} \Bigl[\tfrac{5}{2}(2x+3)+x\Bigr] =x^{\tfrac{3}{2}}(2x+3)^{-\tfrac12}\,\frac{12x+15}{2}.
Escrevendo em forma mais limpa,
g'(x) =\frac{3\,(4x+5)\,x^{\tfrac{3}{2}}}{2\,\sqrt{2x+3}}.

Resposta

g'(x)=\frac{3\,(4x+5)\,x^{\tfrac{3}{2}}}{2\,\sqrt{2x+3}}.

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