Calcule as integrais abaixo.
\int_{0}^{1} \int_{3 y}^{3} e^{x^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{1}\int_{3y}^{3}e^{x^{2}}\,dx\,dy
ou seja, estamos integrando e^{x^{2}} sobre a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\\ 3y\le x\le3\}.
Perceba que não dá para encontrar antiderivada de e^{x^{2}} em x, mas podemos trocar a ordem de integração.

Passo 2

Descrevemos D invertendo as desigualdades:
0\le y\le1,\quad 3y\le x\le3 \quad\Longrightarrow\quad 0\le x\le3,\quad 0\le y\le \frac{x}{3}.
Logo
\int_{0}^{1}\!\int_{3y}^{3}e^{x^{2}}\,dx\,dy =\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{x/3}e^{x^{2}}\,dy\,dx.

Passo 3

Na integral interna y\mapsto e^{x^{2}} é constante, então
\int_{y=0}^{x/3}e^{x^{2}}\,dy =e^{x^{2}}\cdot\Bigl[\;y\Bigr]_{0}^{x/3} =e^{x^{2}}\;\frac{x}{3}.
Assim a integral vira
\int_{0}^{3}\frac{x}{3}\,e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{3}x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição u=x^{2}, logo du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Os limites em u vão de 0 a 9. Assim
\int_{0}^{3}x\,e^{x^{2}}\,dx =\int_{u=0}^{9}e^{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{9} =\frac{1}{2}(e^{9}-1).

Passo 5

Voltando ao fator \tfrac{1}{3}, obtemos
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(e^{9}-1) =\frac{e^{9}-1}{6}.

Resposta

\frac{e^{9}-1}{6}.

Exercícios relacionados