Questão 4: (2 pontos)

Sejam as bases B=\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5\end{array}\right]\right\} e C=\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\} em \mathbb{R}^{2}.
a) Encontre a matriz transformação de vetores da base B para a base C;
b) Encontre o vetor [v]_{B}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2\end{array}\right]_{B} na base C;
c) Encontre o vetor vetor [v]_{B} do item anterior na base canônica.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2,
B=\{b_1,b_2\},\quad b_1=\begin{pmatrix}5\\\ 0\end{pmatrix},\;b_2=\begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix},
C=\{c_1,c_2\},\quad c_1=\begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix},\;c_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix},
e pede:
a) a matriz de mudança de coordenadas de B para C;
b) as coordenadas em C do vetor cujo [\;v\;]_B=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix};
c) o mesmo vetor em coordenadas canônicas.

Passo 2

Para achar a matriz P_{C\leftarrow B}, expressamos cada b_j como combinação linear de c_1,c_2.
Escrevemos
b_1=\alpha_1c_1+\beta_1c_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}5\\\ 0\end{pmatrix} =\alpha_1\begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix} +\beta_1\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\beta_1\\\ 2\alpha_1+2\beta_1\end{pmatrix}.
Daí -\beta_1=5\implies\beta_1=-5 e 2\alpha_1+2(-5)=0\implies\alpha_1=5.
Analogamente,
b_2=\alpha_2c_1+\beta_2c_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\beta_2\\\ 2\alpha_2+2\beta_2\end{pmatrix},
de onde -\beta_2=3\implies\beta_2=-3 e 2\alpha_2+2(-3)=-5\implies\alpha_2=\tfrac12.
Logo as colunas de P_{C\leftarrow B} são \bigl[\,[b_1]_C\;\big|\;[b_2]_C\bigr]:
P_{C\leftarrow B} =\begin{pmatrix} 5 & \tfrac12\\\\ -5 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter [v]_C dado [v]_B=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, basta multiplicar:
[v]_C=P_{C\leftarrow B}\,[v]_B =\begin{pmatrix}5 & \tfrac12\\\ -5 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-1\\\ -5+6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar v na base canônica, usamos [v]_B ou o [v]_C. Pelo mais direto,
v=1\cdot b_1+(-2)\cdot b_2 =\begin{pmatrix}5\\\ 0\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-6\\\ 0+10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 10\end{pmatrix}.

Resposta

a)
P_{C\leftarrow B} =\begin{pmatrix} 5 & \tfrac12\\\\ -5 & -3 \end{pmatrix}.
b)
[v]_C=\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
c)
v=\begin{pmatrix}-1\\\ 10\end{pmatrix}
(no sistema de coordenadas canônico).

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