Calcule as integrais abaixo.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{y} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=1}^{2}\!\int_{x=0}^{y} x\,y \,dx\,dy.
O conteúdo é integrais duplas via iteradas: primeiro integramos em x tratando y como constante, depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x. Como y é constante, temos
\int_{0}^{y} x\,y \,dx = y \int_{0}^{y} x \,dx = y \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{y} = \frac{y^3}{2}.

Passo 3

Substituímos o resultado na integral exterior e integramos em y:
\int_{1}^{2} \frac{y^3}{2} \,dy = \frac{1}{2} \left[\frac{y^4}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4} = \frac{15}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{8}

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