Questão 3: (2 pontos)

Seja o sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} -2 x+4 y-4 z+w=0 \\\\ 6 x+6 y-6 z+6 w=0 \\\\ 3 x+3 y-3 z+3 w=0 \end{array}\right.
Determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo com três equações lineares em quatro incógnitas x, y, z, w. O objetivo é determinar o espaço-nulo (kernel) desse sistema, isto é, todos os vetores (x,y,z,w) que satisfazem as equações, e então extrair uma base e a dimensão desse espaço. Vamos usar eliminação de Gauss e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Escrevendo as equações dadas
\begin{cases} -2x + 4y -4z + w = 0,\\\\ 6x + 6y -6z +6w = 0,\\\\ 3x + 3y -3z +3w = 0, \end{cases}
observamos que a segunda linha é 6 vezes \,(x+y-z+w)=0 e a terceira é 3 vezes o mesmo termo. Logo, ambas são múltiplos de
x + y - z + w = 0
e há, de fato, apenas duas equações independentes:
\begin{cases} -2x + 4y -4z + w = 0,\\\ x + y - z + w = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação independente
x + y - z + w = 0
isolamos x:
x = -\,y + z - w.
Substituindo em
-2x + 4y -4z + w = 0
vem
-2(-y+z-w) + 4y -4z + w = 0 \;\Longrightarrow\; 2y -2z +2w +4y -4z + w = 0 \;\Longrightarrow\; 6y -6z +3w = 0.
Dividindo por 3:
2y -2z + w = 0 \;\Longrightarrow\; w = 2z -2y.

Passo 4

Temos agora as expressões
x = -\,y + z - w, \quad w = 2z -2y.
Substituindo w em x:
x = -y + z - (2z -2y) = y - z.
Chamando y = s e z = t como parâmetros livres, o vetor solução fica
(x,y,z,w) = (\,s - t,\; s,\; t,\; 2t -2s).
Isso pode ser escrito como combinação linear:
(s,t)\mapsto s\,(1,1,0,-2)\;+\;t\,(-1,0,1,2).

Passo 5

Do passo anterior vemos que o espaço-nulo é gerado pelos vetores (1,1,0,-2) e (-1,0,1,2). Como há dois parâmetros livres, a dimensão do espaço-nulo é 2.

Resposta

A dimensão do espaço-nulo é 2 e uma base é
\{(1,1,0,-2),\;(-1,0,1,2)\}.

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