Determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema homogêneo com três equações lineares em quatro incógnitas x, y, z, w. O objetivo é determinar o espaço-nulo (kernel) desse sistema, isto é, todos os vetores (x,y,z,w) que satisfazem as equações, e então extrair uma base e a dimensão desse espaço. Vamos usar eliminação de Gauss e o teorema do posto-nulidade.
Chamando y = s e z = t como parâmetros livres, o vetor solução fica
(x,y,z,w) = (\,s - t,\; s,\; t,\; 2t -2s).
Isso pode ser escrito como combinação linear:
(s,t)\mapsto s\,(1,1,0,-2)\;+\;t\,(-1,0,1,2).
Passo 5
Do passo anterior vemos que o espaço-nulo é gerado pelos vetores (1,1,0,-2) e (-1,0,1,2). Como há dois parâmetros livres, a dimensão do espaço-nulo é 2.