Questão. (10 pontos) a) Mostre que se
é solução da equação diferencial
, então
satisfaz a equação característica
.
(30 pontos) b) Determine a solução geral da equação diferencial
.
(30 pontos) b) Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Na parte (a) temos
e queremos mostrar que, ao tentar a solução do tipo
, o parâmetro
deve satisfazer a equação característica
. Na parte (b) generalizamos para
e buscamos a solução geral. O método que vamos usar é o do polinômio característico.
Passo 2
Suponha
. Então
Substituindo em
obtemos
Como
para todo
, concluímos que
Passo 3
Para resolver
escrevemos
e usamos as raízes da unidade deslocadas:
Passo 4
Cada
gera uma solução
. Assim, a solução geral real de
é
ou, se preferirmos em termos de funções reais, agrupamos as raízes conjugadas em pares para escrever combinações de exponenciais e termos
e
.
Passo 5
No caso geral
segue-se o mesmo raciocínio. O característico é
cujas
raízes são
Portanto a solução geral é
e, em busca de soluções reais, podemos novamente agrupar as raízes conjugadas para obter combinações de
e
.
Resposta
a) Substituindo
em
obtemos a condição
b) Para
, o polinômio característico é
cujas raízes são
Logo a solução geral é