{ }^{a} Questão. (10 pontos) a) Mostre que se y=e^{r x} é solução da equação diferencial y^{v i}+y=0, então r satisfaz a equação característica r^{6}+1=0.
(30 pontos) b) Determine a solução geral da equação diferencial y^{n i}+y=0.

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Na parte (a) temos
y^{(6)} + y = 0
e queremos mostrar que, ao tentar a solução do tipo y=e^{r x}, o parâmetro r deve satisfazer a equação característica r^6+1=0. Na parte (b) generalizamos para
y^{(n)} + y = 0
e buscamos a solução geral. O método que vamos usar é o do polinômio característico.

Passo 2

Suponha y=e^{r x}. Então
y^{(6)} = \frac{d^6}{dx^6}\bigl(e^{r x}\bigr) = r^6\,e^{r x}.
Substituindo em y^{(6)}+y=0 obtemos
r^6\,e^{r x} + e^{r x} = \bigl(r^6+1\bigr)e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, concluímos que
r^6 + 1 = 0.

Passo 3

Para resolver r^6+1=0 escrevemos -1=e^{i\pi} e usamos as raízes da unidade deslocadas:
r_k = e^{i\frac{\pi + 2\pi k}{6}} = e^{i\frac{(2k+1)\pi}{6}}, \quad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 4

Cada r_k gera uma solução e^{r_k x}. Assim, a solução geral real de
y^{(6)}+y=0
é
y(x)=\sum_{k=0}^{5}C_k\,e^{r_k x},
ou, se preferirmos em termos de funções reais, agrupamos as raízes conjugadas em pares para escrever combinações de exponenciais e termos \cos e \sin.

Passo 5

No caso geral
y^{(n)}+y=0
segue-se o mesmo raciocínio. O característico é
r^n + 1 = 0,
cujas n raízes são
r_k = e^{i\frac{(2k+1)\pi}{n}}, \quad k=0,1,\dots,n-1.
Portanto a solução geral é
y(x)=\sum_{k=0}^{n-1}C_k\,e^{r_k x},
e, em busca de soluções reais, podemos novamente agrupar as raízes conjugadas para obter combinações de \cos e \sin.

Resposta

a) Substituindo y=e^{r x} em y^{(6)}+y=0 obtemos a condição
r^6+1=0.
b) Para y^{(n)}+y=0, o polinômio característico é r^n+1=0 cujas raízes são
r_k = e^{i\frac{(2k+1)\pi}{n}}, \quad k=0,1,\dots,n-1.
Logo a solução geral é
y(x)=\sum_{k=0}^{n-1}C_k\,e^{r_k x}.

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