Calcule as integrais abaixo:
\int[1 até e ] x \ln x d x

Passo 1

O enunciado quer calcular
\int_{1}^{e} x \ln x \, dx.
Aqui a técnica é a integração por partes, cuja fórmula é
\int u \, dv = u\,v - \int v \, du.

Passo 2

Escolho
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = x \, dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \frac{x^2}{2}.
Aplicando partes:
\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 3

Calculo a integral remanescente:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4}.
Logo uma primitiva é
F(x) = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}.

Passo 4

Avalio entre x=1 e x=e:
F(e) = \frac{e^2}{2}\cdot 1 - \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{4},
F(1) = \frac{1^2}{2}\cdot 0 - \frac{1^2}{4} = -\frac{1}{4}.
Portanto
\int_{1}^{e} x \ln x \, dx = F(e) - F(1) = \frac{e^2}{4} - \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) = \frac{e^2 + 1}{4}.

Resposta

\frac{e^2 + 1}{4}.

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