Calcule \mathrm{y}^{\'}(\mathrm{x}) para \mathrm{y}(\mathrm{x})=\int\left[0\right. até \left.\mathrm{x}^{\wedge} 2\right] \cos (\sqrt{ } \mathrm{t}) \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle y(x)=\int_{0}^{\,x^2}\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr)\,dt
e pede y'(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) combinado com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
Y(u)=\int_{0}^{u}f(t)\,dt,
então \displaystyle \frac{dY}{du}=f(u). Aqui temos u=x^2 e f(t)=\cos(\sqrt{t}), logo
\frac{dy}{dx} =\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr)\,dt =\cos\bigl(\sqrt{x^2}\bigr)\,\frac{d}{dx}(x^2).

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{d}{dx}(x^2)=2x. Então
y'(x)=2x\;\cos\bigl(\sqrt{x^2}\bigr).

Passo 4

Para todo x\in\mathbb{R}, \sqrt{x^2}=|x| e como \cos é função par, \cos(|x|)=\cos(x). Portanto
y'(x)=2x\,\cos(x).

Resposta

\displaystyle y'(x)=2x\cos(x)

Exercícios relacionados