Calcule as integrais abaixo
integral 12 x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a técnica de completar o quadrado para simplificar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1 . Isso ajuda a transformar a expressão em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - x = (x - 12)^2 - 14
Substituindo de volta:
2(x - 12)^2 - 12 + 1 = 2(x - 12)^2 + 12

Passo 4

Portanto, o denominador fica:
2x^2 - 2x + 1 = 2(x - 12)^2 + 12

Passo 5

Vamos reescrever a integral com o denominador simplificado:
integral 12(x - 12)^2 + 12 , dx
Podemos fatorar = integral 112(4(x - 12)^2 + 1) , dx = 2 integral 14(x - 12)^2 + 1 , dx do denominador:

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = 2(x - 12) Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2

Passo 7

Substituindo na integral:
2 integral 1u^2 + 1 cdot du2 = integral 1u^2 + 1 , du

Passo 8

A integral arctan(u) + C é uma integral padrão que resulta em:

Passo 9

Voltando à variável original arctan(2(x - 12)) + C = arctan(2x - 1) + C :

Resposta

integral 12x^2 - 2x + 1 , dx = arctan(2x - 1) + C

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