Encontre o raio de convergência:
b) Da função de Bessel de ordem r :
Jr(z)=(z2)^r sumn=0^infty (-1)^nn!(n+r)!(z2)^2 n
Aqui r é um inteiro positivo.

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o raio de convergência da função de Bessel de ordem Jr(z)=(z2)^r sumn=0^infty (-1)^nn!(n+r)!(z2)^2 n :
Isso está relacionado com séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para determinar até onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando a soma, temos:
an = (-1)^nn!(n+r)!(z2)^2 n
O objetivo é encontrar o limite do quociente quando tende ao infinito.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
limn to infty | an+1an |
Substituindo | (-1)^n+1(n+1)!(n+1+r)!(z2)^2(n+1) cdot n!(n+r)!(-1)^n (z2)^2n | e | (-1)(n+1)(n+1+r) (z2)^2 | = (z2)^2(n+1)(n+1+r) :
Simplificando:

Passo 4

Agora, analisamos o limite quando limn to infty (z2)^2(n+1)(n+1+r) = 0 vai para infinito:
Como esse limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todo .

Resposta

O raio de convergência da função de Bessel de ordem é infinito.

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