Encontre o raio de convergência:
b) Da função de Bessel de ordem
:
Aqui
é um inteiro positivo.
b) Da função de Bessel de ordem
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o raio de convergência da função de Bessel de ordem
:
Isso está relacionado com séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para determinar até onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando a soma, temos:
O objetivo é encontrar o limite do quociente
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Substituindo
| (-1)^n+1(n+1)!(n+1+r)!(z2)^2(n+1) cdot n!(n+r)!(-1)^n (z2)^2n | e
| (-1)(n+1)(n+1+r) (z2)^2 | = (z2)^2(n+1)(n+1+r) :
Simplificando:
Passo 4
Agora, analisamos o limite quando
limn to infty (z2)^2(n+1)(n+1+r) = 0 vai para infinito:
Como esse limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todo
.
Resposta
O raio de convergência da função de Bessel de ordem
é infinito.