Calcule as integrais abaixo
integral 13 x^2-2 x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é a seguinte:
integral 13x^2 - 2x + 4 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integrais envolvendo arctan.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão do denominador: 3x^2 - 2x + 4 = 3(x^2 - 23x) + 4 .
Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de :

Passo 3

Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos o coeficiente de (-23 times 2)^2 = (-13)^2 = 19 , que é 3(x^2 - 23x + 19 - 19) + 4 = 3((x - 13)^2 - 19) + 4 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então adicionamos e subtraímos dentro do parênteses:

Passo 4

Distribuímos o 3:
3(x - 13)^2 - 3 times 19 + 4 = 3(x - 13)^2 - 13 + 4
Simplificamos os termos constantes:
3(x - 13)^2 + 113
Então, o denominador fica:
3x^2 - 2x + 4 = 3(x - 13)^2 + 113

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral 13(x - 13)^2 + 113 , dx
Podemos fatorar integral 13(x - 13)^2 + 113 , dx = integral 13[(x - 13)^2 + 119] , dx para facilitar:

Passo 6

Agora, a integral está na forma:
integral 1a^2 + u^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Identificamos que , então , e .

Passo 7

Aplicamos a fórmula:
integral 13[(x - 13)^2 + 119] , dx = 13 times 3raiz11 arctan(x - 13raiz113) + C
Simplificando os coeficientes:
1raiz11 arctan(3x - 1raiz11) + C

Resposta

A integral é igual a:
1raiz11 arctan(3x - 1raiz11) + C

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