Determine os intervalos onde cada uma das funções abaixo é contínua.
h) f(x) = { 1/(x + 1) se x < 4, raiz(x - 4) se x ≥ 4 }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir em quais intervalos a função é contínua. Estamos lidando com uma função que tem duas partes: uma para e outra para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função e verificar cada parte da função separadamente, além de ver o que acontece no ponto onde as definições mudam, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando :
A função é uma função racional, e sabemos que funções racionais são contínuas em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, vamos encontrar onde o denominador é zero:
Isso significa que não está definida em . Portanto, para , a função é contínua em todo o intervalo exceto em .

Passo 3

Agora, vamos ver a parte da função quando :
A função raiz quadrada é contínua em todos os valores onde a expressão dentro da raiz é não negativa, ou seja, . Isso ocorre para . Então, nessa parte, a função é contínua para todo .

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde as duas definições se encontram, que é . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda , o limite pela direita e o valor da função em devem ser iguais.
Vamos calcular:
  1. Limite pela esquerda ( ):
  1. Limite pela direita ( ):
  1. Valor da função em :
Como o limite pela esquerda ( ) não é igual ao limite pela direita e ao valor da função em ( ), a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua nos intervalos , e .

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