Determine os intervalos onde cada uma das funções abaixo é contínua.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir em quais intervalos a função
é contínua. Estamos lidando com uma função que tem duas partes: uma para
e outra para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função e verificar cada parte da função separadamente, além de ver o que acontece no ponto onde as definições mudam, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
:
A função
é uma função racional, e sabemos que funções racionais são contínuas em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, vamos encontrar onde o denominador é zero:
Isso significa que
não está definida em
. Portanto, para
, a função é contínua em todo o intervalo exceto em
.
Passo 3
Agora, vamos ver a parte da função quando
:
A função raiz quadrada
é contínua em todos os valores onde a expressão dentro da raiz é não negativa, ou seja,
. Isso ocorre para
. Então, nessa parte, a função é contínua para todo
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde as duas definições se encontram, que é
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda
, o limite pela direita
e o valor da função em
devem ser iguais.
Vamos calcular:
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
- Valor da função em
:
Como o limite pela esquerda (
) não é igual ao limite pela direita e ao valor da função em
(
), a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua nos intervalos
,
e
.