Calcule o raio de convergência
da série de potências
, onde
é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola
a função
é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência
da série de potências
, onde
. Isso faz parte do estudo de séries de potências na matemática, e pra isso vamos usar alguns conceitos de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz até onde, no plano complexo, a série de potências converge. Ou seja, dentro desse raio
, a série vai “funcionar” bem, e fora dela, pode não convergir.
Passo 3
Para encontrar
, usamos uma ferramenta chamada fórmula do raio de convergência. Uma das maneiras comuns de calcular isso é usando o critério de Cauchy-Hadamard, que diz:
Aqui,
significa o limite superior, ou seja, o maior valor que a sequência
se aproxima quando
cresce sem parar.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Temos
, então:
Agora, calculamos a raiz
-ésima de
:
Isso porque
, então
.
Passo 5
Agora, encontramos o limite superior:
Então, de acordo com a fórmula do raio de convergência:
Resposta
O raio de convergência
da série de potências dada é
.