Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
c) an=1e^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências , onde . Isso faz parte do estudo de séries de potências na matemática, e pra isso vamos usar alguns conceitos de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz até onde, no plano complexo, a série de potências converge. Ou seja, dentro desse raio , a série vai “funcionar” bem, e fora dela, pode não convergir.

Passo 3

Para encontrar 1R = limsupn to infty raiz[n]|an| , usamos uma ferramenta chamada fórmula do raio de convergência. Uma das maneiras comuns de calcular isso é usando o critério de Cauchy-Hadamard, que diz:
Aqui, significa o limite superior, ou seja, o maior valor que a sequência se aproxima quando cresce sem parar.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Temos |an| = 1e^n , então:
raiz[n]|an| = raiz[n]1e^n = 1e
Agora, calculamos a raiz -ésima de :
Isso porque , então .

Passo 5

Agora, encontramos o limite superior:
limsupn to infty raiz[n]|an| = 1e
Então, de acordo com a fórmula do raio de convergência:
1R = 1e implies R = e

Resposta

O raio de convergência da série de potências dada é .

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