Calcule o raio de convergência
da série de potências
, onde
é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola
a função
é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio de convergência
da série de potências
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a determinar onde uma série de potências converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência
pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui,
representa o limite superior. Nosso objetivo é calcular esse limite para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Para simplificar, observe que conforme
cresce,
domina no denominador, então podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo na expressão anterior:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, usando a fórmula do raio de convergência:
Resposta
O raio de convergência da série é
.