Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
f) an=11+2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio de convergência da série de potências , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a determinar onde uma série de potências converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência 1R = limsupn to infty |an|^1/n pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, representa o limite superior. Nosso objetivo é calcular esse limite para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular |an|^1/n = ( 11 + 2^n )^1/n :
11 + 2^n approx 12^n
Para simplificar, observe que conforme cresce, domina no denominador, então podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo na expressão anterior:
( 12^n )^1/n = 12
Portanto, temos:
limsupn to infty |an|^1/n = 12

Passo 5

Agora, usando a fórmula do raio de convergência:
1R = 12 implies R = 2

Resposta

O raio de convergência da série é .

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