Considere (
),
, uma sequência de números reais positivos tal que
. Nesse caso,
é igual a:
a)
b) 0
c)
d) 1
e) e
a)
b) 0
c)
d) 1
e) e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência de números reais positivos, definida por uma regra de recorrência:
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites de sequências, especialmente analisando como os termos se comportam quando
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como a sequência evolui e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Começamos com um termo inicial
, e cada termo seguinte é obtido dividindo o termo anterior por um número que aumenta com
. Ou seja:
Isso nos mostra que cada termo
pode ser escrito como:
onde
(fatorial de
) significa o produto de todos os inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce muito rápido à medida que
aumenta. De fato,
cresce mais rápido que qualquer função exponencial de
.
Passo 4
Como o denominador
cresce extremamente rápido e o numerador
é uma constante, a fração
vai se aproximando cada vez mais de zero conforme
aumenta. Matemáticamente:
Isso acontece porque o denominador “manda” a fração para zero.
Resposta
A resposta correta é a opção b) 0.