Considere ( x n ), n in IN, uma sequência de números reais positivos tal que xn+1=xnn+1. Nesse caso, lim x infty xn é igual a:
a) +infty
b) 0
c) x1
d) 1
e) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência de números reais positivos, definida por uma regra de recorrência: . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites de sequências, especialmente analisando como os termos se comportam quando cresce muito, ou seja, quando tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como a sequência evolui e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Começamos com um termo inicial x2 = x12, x3 = x23 = x12 times 3, x4 = x34 = x12 times 3 times 4, e assim por diante , e cada termo seguinte é obtido dividindo o termo anterior por um número que aumenta com xn = x12 times 3 times 4 times dots times n = x1n! . Ou seja:
Isso nos mostra que cada termo pode ser escrito como:
onde (fatorial de ) significa o produto de todos os inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de limn to infty xn = limn to infty x1n! quando tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce muito rápido à medida que aumenta. De fato, cresce mais rápido que qualquer função exponencial de .

Passo 4

Como o denominador limn to infty x1n! = 0 cresce extremamente rápido e o numerador é uma constante, a fração vai se aproximando cada vez mais de zero conforme aumenta. Matemáticamente:
Isso acontece porque o denominador “manda” a fração para zero.

Resposta

A resposta correta é a opção b) 0.

Exercícios relacionados