Encontre a solução geral das EDOs homogêneas, que são de coeficientes constantes e também do tipo Euler-Cauchy:
2 x^2 y^prime prime+5 x y^prime-2 y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea de Euler–Cauchy
2x^2y''+5xy'-2y=0,
que é uma equação com coeficientes que variam em potência de x. A ideia é usar a forma de solução típica de Euler–Cauchy e montar a equação característica.

Passo 2

Em equações de Euler–Cauchy a gente assume uma solução da forma
y(x)=x^r
Daí derivando em relação a x temos:
y’ = r x^{r-1},
y’’ = r(r-1)x^{r-2}.

Passo 3

Substituindo y, y’ e y’’ na EDO:
2x^2igl[r(r-1)x^r-2r] + 5xl[r x^r-1r] - 2x^r = 0 
Fatorando x^{r} em comum (e lembrando que x>0), sobra a equação característica:
2r(r-1) + 5r - 2 = 0

Passo 4

A equação característica é
2r^2 + 3r - 2 = 0
Calculando o discriminante Δ = 3^{2} - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25, temos
r = -3 pm 52cdot 2 = -3 pm 54
Logo as raízes são r_{1} = \tfrac{1}{2} e r_{2} = -2.

Passo 5

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C1x^r1 + C2x^r2 = C1x^1/2 + C2x^-2,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1x^1/2+C2x^-2

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