Encontre a solução geral das EDOs homogêneas, que são de coeficientes constantes e também do tipo Euler-Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea de Euler–Cauchy
que é uma equação com coeficientes que variam em potência de x. A ideia é usar a forma de solução típica de Euler–Cauchy e montar a equação característica.
Passo 2
Em equações de Euler–Cauchy a gente assume uma solução da forma
Daí derivando em relação a x temos:
y’ = r x^{r-1},
y’’ = r(r-1)x^{r-2}.
Passo 3
Substituindo y, y’ e y’’ na EDO:
Fatorando x^{r} em comum (e lembrando que x>0), sobra a equação característica:
Passo 4
A equação característica é
Calculando o discriminante Δ = 3^{2} - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25, temos
Logo as raízes são r_{1} = \tfrac{1}{2} e r_{2} = -2.
Passo 5
Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.